烟台成人高考专科起点《高等数学》模拟试题07

2012年成人高考数学模拟题1

共4页。满分150分。考试时间l20分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．

（1） 的展开式中 的系数为

      （A）4                    （B）6                      （C）10               （D）20

（2）在等差数列 中， ，则 的值为

      （A）5                     （B）6                      （C）8                  （D）10

（3）若向量 ， ， ，则实数 的值为

      （A）                 （B）                     （C）2                  （D）6

（4）函数 的值域是

      （A）          （B）                （C）           （D）

（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为

      （A）7                      （B）15                     （C）25                （D）35

（6）下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是

      （A）                               （B）

      （C）                                 （D）

（7）设变量 满足约束条件 则 的最大值为

      （A）0                     （B）2                      （C）4                  （D）6

（8）若直线 与曲线 （ ）有两个不同的公共点，则实数 的取值范围为

      （A）                                        （B）

      （C）           （D）

（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

      （A）只有1个          （B）恰有3个          （C）恰有4个       （D）有无穷多个

（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有

      （A）30种               （B）36种                （C）42种            （D）48种

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）设 ，则 =____________ .

（12）已知 ，则函数 的最小值为____________ .

（13）已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 、 两点， ，则

_           _ .

（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品  率分别为 、 、 ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .

（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 ，各段弧所在的圆经过同一点 （点 不在 上）且半径相等. 设第 段弧所对的圆心角为 ，则 ____________ .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知 是首项为19，公差为-2的等差数列， 为 的前 项和.

（Ⅰ）求通项 及 ；

（Ⅱ）设 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的通项公式及其前

项和 .

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：

（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；

（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

设 的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3 +3 -3 =4 bc .

(Ⅰ) 求sinA的值；

(Ⅱ)求 的值.

(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

已知函数 (其中常数a,b∈R), 是奇函数.

(Ⅰ)求 的表达式;

(Ⅱ)讨论 的单调性，并求 在区间上的最大值和最小值.

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）

如题（20）图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 是棱 的中点.

（Ⅰ）证明： 平面 ；

（Ⅱ）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知以原点 为中心， 为右焦点的双曲线 的离心率 .

（Ⅰ）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；

（Ⅱ）如题（21）图，已知过点 的直线 ： 与过点 （其中 ）的直线 ： 的交点 在双曲线 上，直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 、 两点，求 的值.

参考答案

1-10 BADCB  ACDDC

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）解析：

（12）解析： ，当且仅当 时，

（13）解析：由抛物线的定义可知  

       故 2

（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得

加工出来的零件的次品率

（15）解析：

又 ，所以

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）解：（I）因为 是首项为 公差 的等差数列，

所以

   （II）由题意 所以

（17）

解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有 种等可能的结果。

   （I）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”

则A包含的结果有 种，

故所求概率为

   （II）设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”

则 表示甲、乙两单位序号相邻， 包含的结果有 种。

从而

（18）解：（I）由余弦定理得

又

   （II）原式

（19）

       解：（Ⅰ）由题意得

       因此 是奇函数，所以 有

       从而

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 上是减函数；当 从而 在区间 上是增函数。

       由前面讨论知， 而 因此

       ，最小值为

（20）（I）证明：如答（20）图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，由PA=AB知

为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB

由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，

由垂线定理得BC⊥PB，从而PC⊥平面PAB，

因AE⊥BP，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC。

   （II）解：由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，

得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE。

在 中，PA=AB= ，

从而在 ，

所以 为等边三角形，

取CE的中点F，连接DF，则

因BE=BC=1，且BC⊥BE，则 为等腰直角三角形，连接BF，则BF⊥CE，

所以 为所求的二面角的平面角。

连接BD，在 中，

所以

故二面角B—EC—D的平面角的余弦值为

解法二：

   （I）如答（20）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A—xyz.

    设D（0，a，0），则

    .

    于是

    则 ，所以AE⊥平面PBC.

   （II）解：设平面BEC的法向量为n，由（I）知，AE⊥平面BEC，

故可取

设平面DEC的法向量 ，则 ，

由 =1，得

从而

故

所以

可取

从而

所以二面角B—EC—D的平面角的余弦值为

（21）（本题12分）

解：（I）设C的标准方程是 ，

则由题意

因此

C的标准方程为

C的渐近线方程为

   （II）解法一：如图（21）图，由题意点 在直线 和

上，因此有

故点M、N均在直线 上，因此直线MN的方程为

设G、H分别是直线MN与渐近线 及 的交点，

由方程组

解得

故

因为点E在双曲线

所以

解法二：设 ，由方程组得

解得

故直线MN的方程为

注意到 因此直线MN的方程为 ，

下同解法一.