烟台成人高考专科起点《高等数学》模拟试题02

2012年成人高考高等数学预测试题

第Ⅰ卷（选择题）

    本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件 互斥，那么                         球的表面积公式

如果事件 相互独立，那么                     其中 表示球的半径

                             球的体积公式

如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么        

次独立重复试验中事件A恰好发生 次的概率      其中 表示球的半径

一、选择题

（1）已知全集 ={1，2，3，4，5，6，7，8}， ={1，3，5，7}， ={5，6，7}，则 =

(A) {5，7}    （B） {2，4}       （C）{2.4.8}     （D）{1，3，5，6，7}

（2）函数y= (x 0)的反函数是

     （A） （x 0）                （B） （x 0）

     （B） （x 0）                （D） （x 0）

（3） 函数 的图像

   （A） 关于原点对称                    （B）关于主线 对称

   （C） 关于 轴对称                    （D）关于直线 对称

（4）已知△ABC中， ，则

(A)            (B)            (C)        (D)

（5） 已知正四棱柱 中， = ， 为 中点，则异面直线 与 所形成角的余弦值为

（A）          (B)           (C)       (D)

（6） 已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=

   （A）          （B）        （C）5        （D）25

（7）设 则

（A）      （B）     （C）    （D）

（8）双曲线 的渐近线与圆 相切，则r=

（A）          （B）2            （C）3           （D）6

（9）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为

(A)             (B)          (C)           (D)

（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

（A）6种       （B）12种    （C）24种     （D）30种

（11）已知直线 与抛物线C: 相交A、B两点，F为C的焦点。若 ,则k=

(A)            (B)           (C)          (D)

（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

（A）南      （B）北        （C）西         （D）下

△

上

东

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.

（13）设等比数列{ }的前n项和为 。若 ，则 =     ×       

（14） 的展开式中 的系数为     ×            

（15）已知圆O： 和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于     ×       

（16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于 ，则球O的表面积等于     ×       

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。

（17）（本小题满分10分）

已知等差数列{ }中， 求{ }前n项和

（18）（本小题满分12分）

设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c， , ，求B.

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱 中， ， 分别为 的中点， ⊥平面

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）设二面角 为60°,求 与平面 所成的角的大小

A

C

B

A1

B1

C1

D

E

（20）（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

（21）（本小题满分12分）

设函数 ，其中常数

(Ⅰ)讨论 的单调性;

(Ⅱ)若当 ≥0时， 恒成立，求 的取值范围。

（22）（本小题满分12分）

已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 的直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为1是，坐标原点 到 的距离为

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ） 上是否存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立？

若存在，求出所有的 的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。

2009年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案和评分参考

一．选择题

（1）C   （2）B   （3）A   （4）D    （5）C     （6）C

（7）B   （8）A   （9）D   （10）C   （11）D   （12）B

二．填空题

    （13）3   （14）6   （15）    （16）8π

三．解答题

 17． 解：

设 的公差为 ，则

即

解得 

因此

（18）解：

由 及 得

又由 及正弦定理得

故  ，

  或   （舍去），

于是 或 .

又由 知 或

所以

（19）解法一：

（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF ，从而EF DA。

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面 ，故AF⊥平面 ，

从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，

所以AB=AC。

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600.

设AC=2，则AG= 。又AB=2，BC= ，故AF= 。

由 得2AD= ，解得AD= 。

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。

因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，

所以∠ECH=300，即 与平面BCD所成的角为300.

解法二：

（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。

设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），

则 （1，0，2c）,E（ ， ，c）.

于是 =（ ， ，0）， =（-1，b,0）.由DE⊥平面 知DE⊥BC，

=0，求得b=1，

所以    AB=AC。

（Ⅱ）设平面BCD的法向量 则

又

故

令 , 则

又平面 的法向量

由二面角 为60°知， =60°，

故  ，求得

于是   ， 

，

所以 与平面 所成的角为30°

（20）解：

（Ⅰ）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

（Ⅱ）记 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

（Ⅲ） 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有 名男工人，

       表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有 名男工人，

       表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

       与 独立，  ，且

故

（21）解：

（Ⅰ）

由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；

当 时， ，故 在区间 是减函数；

当 时， ，故 在区间 是增函数。

综上，当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， 在 或 处取得最小值。

由假设知    即   解得

故 的取值范围是（1，6）

（22）解：

（Ⅰ）设  当 的斜率为1时，其方程为 到 的距离为

故  ，

由

得 ， =

（Ⅱ）C上存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立。

由（Ⅰ）知C的方程为 + =6. 设

 (ⅰ)

C上的点 使 成立的充要条件是 点的坐标为 ，且

整理得

故                   ①

将 ，并化简得

于是 , = ,

     代入①解得， ，此时

     于是 = ， 即

     因此， 当 时， ， ；

 当 时， ， 。

（ⅱ）当 垂直于 轴时，由 知，C上不存在点P使 成立。

综上，C上存在点 使 成立，此时 的方程为